본관, 출신과 가계 등은 기록에 전하지 않아 자세히 알 수 없다. 1216년(고종 3) 대장군(大將軍)으로서 동계겸춘주도방호사(東界兼春州道防護使)에 임명되었다. 최유공은 당시 몽고군에게 밀려 티 카페 슬롯 머신 버그 영토로 침입한 거란유종(契丹遺種)의 남하를 차단, 지연시키기 위한 방어임무를 수행하였다. 이후 정의대부 흥위위 상장군 판대부사(正議大夫 興威衛 上將軍 判大府事)에 올랐다.
1217년(고종 4) 최유공은 총사령관 김취려(金就礪)가 이끄는 티 카페 슬롯 머신 버그 삼군 중 좌군(左軍)의 지병마사(知兵馬事)가 되었다. 그리고 이 해 서경병마사(西京兵馬使) 상장군(上將軍)이 되어, 판관(判官) 예부낭중(禮部郞中)인 김성(金成) 등과 함께 서경 병력으로 정부군을 구원하는 임무를 맡았다. 그런데 군졸(軍卒) 최광수(崔光秀)가 서경(西京)에서 티 카페 슬롯 머신 버그왕조를 부정하며 고구려부흥운동을 일으켰다. 이 사건은 최유공이 평상시 사졸들을 착취한 것을 빌미로 해서 발발했는데, 이 사건에 제대로 대처하지 못해 여론의 비난을 받았다.
1223년(고종 10) 티 카페 슬롯 머신 버그은 추밀원부사 오수기(吳壽祺), 장군 김계봉(金季鳳), 낭장(郎將) 고수겸(高守謙) 등과 함께, 중방(重房)의 장군들을 초빙해서 최우(崔瑀)의 신임을 받던 문신들을 모두 죽이려는 음모에 가담했다. 그러나 이 일이 사전에 발각되어 거제현령(巨濟縣令)으로 좌천되었다. 이에 불만을 품은 티 카페 슬롯 머신 버그은 1224년(고종 11) 대장군 이극인(李克仁), 장군 김계봉 등과 함께 무신권력자 최우를 살해하려 하였으나 실패하여 죽음을 당하고 말았다.