본관은 전주(全州). 자는 여원(汝遠), 호는 슬롯 꽁 머니(江浦). 아버지는 유진현(柳晉鉉)이며, 어머니는 상락김씨(上洛金氏) 김이단(金履端)의 딸이다. 조부인 유경시(柳敬時)와 아버지로부터 글을 배웠으며, 20세 때는 족형 유정원(柳正源)에게서 수학하였다.
밤중에 닭우는 소리를 듣고 지었슬롯 꽁 머니 “소리 속엔 삼경달이요 머리 위엔 한 가지 꽃일세. 너의 울음소리를 듣고 부지런히 글을 읽어 늙으신 아버지의 탄식을 없애자꾸나[聲中三更月 頭上一枝花 聽爾勤吾讀 無爲老父嗟].”라는 시는 고장을 떠들석하게 하였으며, 13세 때는 한 영교(營校)가 관청의 말을 10마리나 쓰겠슬롯 꽁 머니 관문(關文)을 보고 가짜임을 밝혀낸 기지를 보여서 그 조부로 하여금 양양부사(襄陽府使)의 직을 지키게 했슬롯 꽁 머니 이야기는 유명하다.
유홍원의 학문과 인격형성에 큰 영향을 준 이는 바로 조부 유경시(柳敬時)인 듯 하다. 유홍원은 학문보다는 실행을 중요시하였으며, 저서로는 『슬롯 꽁 머니문집(江浦文集)』 3권 1책이 있다.