본관은 은진(恩津). 자는 직경(直卿), 호는 추양(秋陽). 송준길(宋浚吉)의 후손이다. 아버지는 증좌찬성 송시연(宋時淵)이며, 어머니는 평산신씨(平山申氏)로 증사헌부라스베가스 슬롯 머신헌 신소(申韶)의 딸이다. 유년시절에 할아버지 송명흠(宋明欽)에게 수학하였다.
1796년(정조 20) 우의정 윤시동(尹蓍東)이 송계간의 학행(學行)을 천거하여 부사용(副司勇)에 제수되었고, 그 뒤 라스베가스 슬롯 머신헌 이직보(李直輔), 홍문관교리 이지연(李止淵), 영의정 남공철(南公轍) 등의 추천으로 형조참의·성균관좨주(成均館祭酒)·사헌부라스베가스 슬롯 머신헌 등의 요직에 임명되었으나 나아가지 않았다. 시호는 문경(文敬)이며, 저서로 『추양유고(秋陽遺稿)』가 있다.